Giới hạn dãy số

       

Thời gian làm bài:

Câu 1. Tính $\lim \left(\sqrt{4n^2-n}-2n\right)$.

Lời giải câu 1

$\lim \left(\sqrt{4n^2-n}-2n\right)=\lim \dfrac{4n^2-n-4n^2}{\left(\sqrt{4n^2-n}+2n\right)}=\lim \dfrac{-n}{\left(\sqrt{4n^2-n}+2n\right)}=\lim \dfrac{-1}{\left(\sqrt{4-\dfrac{1}{n}}+2\right)}=-\dfrac{1}{4}$.
Chọn đáp án C.

Câu 2. $\lim \left( \sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2+2} \right) =\dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{Z}$ và $\dfrac{a}{b}$ tối giản) thì tổng $a^2+b^2$ là:

Lời giải câu 2

$\lim \left( \sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2+2} \right)=\lim \dfrac{3n-2}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+2}}=\lim \dfrac{3-\dfrac{2}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}=\dfrac{3}{2}$.
Do đó $a=3, b=2$. Suy ra $a^2+b^2=13.$
Chọn đáp án C.

Câu 3. Biết $\lim\dfrac{2an^3-6n^2+2}{n^3+n}=4$ với $a$ là tham số thực. Khi đó, hãy tính giá trị của $M=a^4-a$.

Lời giải câu 3

Ta có $\lim\dfrac{2an^3-6n^2+2}{n^3+n}=\lim\dfrac{n^3\left(2a-\tfrac{6}{n}+\tfrac{2}{n^3}\right)}{n^3\left(1+\tfrac{1}{n^2}\right)}=\lim\dfrac{2a-\tfrac{6}{n}+\tfrac{2}{n^3}}{1+\tfrac{1}{n^2}}=2a$, suy ra $2a=4\Leftrightarrow a=2$.
Vậy ta có $M=a^2-a=2^4-2=14$.
Chọn đáp án C.

Câu 4. Tìm giới hạn $ \lim\limits \left( \sqrt{n^2+3n+1}-n\right).$

Lời giải câu 4

Ta có $$\lim\limits \left( \sqrt{n^2+3n+1}-n\right)= \lim\limits \left( \dfrac{3n+1}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}\right)= \lim\limits \left( \dfrac{3+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1}\right) = \dfrac{3}{2}.$$
Chọn đáp án C.

Câu 5. Biết $\lim \dfrac{\sqrt{{2 \cdot 4}^n + 1} - 2^n}{\sqrt{{2 \cdot 4}^n + 1} + 2^n}=a + b\sqrt{2}$, với $a, b\in \mathbb{Z}$. Tính giá trị biểu thức $T=a^3 + b^3$.

Lời giải câu 5

$\lim \dfrac{\sqrt{{2 \cdot 4}^n + 1} - 2^n}{\sqrt{{2 \cdot 4}^n + 1} + 2^n}=\lim \dfrac{\sqrt{2 + \dfrac{1}{4^n}} - 1}{\sqrt{2 + \dfrac{1}{4^n}} + 1}=\dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}=3 - 2\sqrt{2}$. Suy ra $a=3$ và $b= - 2$ .
Khi đó: $T=a^3 + b^3=3^3 + {\left(- 2\right)}^3=19$.
Chọn đáp án A.

Câu 6. Tìm $L=\lim\dfrac{n-1}{2-n}$.

Lời giải câu 6

Ta có $L=\lim\dfrac{n-1}{2-n}=\lim\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2}{n}-1}=-1.$
Chọn đáp án D.

Câu 7. Tìm giới hạn $\lim \left(\sqrt{n^2+1}-2n\right)$.

Lời giải câu 7

Cách 1. $\lim\left(\sqrt{n^2+1}-2n\right)=\lim n\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}-2\right)=-\infty$
(vì $\lim n=+\infty$ và $\lim\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}-2\right)=-1< 0$). Cách 2. $\lim \left(\sqrt{n^2+1}-2n\right)=\lim\dfrac{n^2+1-4n^2}{\sqrt{n^2+1}+2n}=\lim\dfrac{-3n+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+2}=-\infty$.
Chọn đáp án A.

Câu 8. Giá trị của $ \lim \dfrac{\sqrt{9n^2+n+1}-n}{2n}$ bằng

Lời giải câu 8

Ta có $ \lim \dfrac{\sqrt{9n^2+n+1}-n}{2n}= \lim \dfrac{\sqrt{9+ \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2}}-1}{2}=1$.
Chọn đáp án A.

Câu 9. Tính giới hạn $\lim\limits (\sqrt{n^2-n}-n)$.

Lời giải câu 9

$\lim\limits (\sqrt{n^2-n}-n)=\lim \dfrac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}=\lim\limits \dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}+1}=-\dfrac{1}{2}$.
Chọn đáp án B.

Câu 10. Tính $I= \lim \dfrac{8n^5-2n^3+1}{4n^5+2n^2+1} $.

Lời giải câu 10

Ta có $I= \lim \dfrac{8n^5-2n^3+1}{4n^5+2n^2+1}= \lim \dfrac{8-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^5}}{4+\dfrac{2}{n^3}+\dfrac{1}{n^5}} =\dfrac{8}{4}=2$.
Chọn đáp án C.

Câu 11. Tìm $L=\lim\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)$.

Lời giải câu 11

Ta có $L=\lim\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)=\lim\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim\dfrac{\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+1}=0$.
Chọn đáp án A.


   Số câu đúng